四瓶药，每瓶含量若干，其中一瓶过期了，过期的药片比正常的药片的重量+1，正常药片的重量是已知的，现在有一个电子秤，请问如何在只秤一次的情况下找出过期的那瓶药？

可以利用数字编码的方式，只通过一次称重找出过期的那瓶药。方法如下：

步骤：

  1. 编号：将四瓶药分别编号为 1、2、3、4。

  2. 取样：从第 ( i ) 瓶药中取出 ( i ) 片药：

    • 从 第 1 瓶 取 1 片，
    • 从 第 2 瓶 取 2 片，
    • 从 第 3 瓶 取 3 片，
    • 从 第 4 瓶 取 4 片。

  3. 称重：

    • 假设正常药片的重量为 ( w )，
    • 过期药片的重量为 ( w + 1 )。
    • 如果所有药片都是正常的，总重量应为：
      [
      1w + 2w + 3w + 4w = 10w
      ]
    • 但由于某一瓶药的药片过期，它的药片重量会比正常重量多出 过期药片数 × 1。

  4. 分析结果：

    • 设称得的总重量为 ( S )，
    • 计算超出的重量：
      [
      S - 10w
      ]
    • 这个值等于 过期药瓶的编号，因为我们从第 ( i ) 瓶中取了 ( i ) 片药，而过期药片的重量比正常药片多 1，所以增加的总重量正好是 ( i )。

示例：

假设 第 3 瓶药过期，那么：

  • 取样药片总数：( 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ) 片，
  • 理论总重量：( 10w )，
  • 实际称重：( 10w + 3 )，
  • 多出的重量为 3，因此第 3 瓶 过期。

结论：
通过一次称重，即可根据超出的重量直接确定哪一瓶药过期。

现有两支香，他们长短粗细各不相同，但是燃烬的时间都是一小时，请问我要如何得到15分钟？

可以利用香燃烧速度不均匀但总时间固定的特性，通过 两端点燃 和 顺序点燃 来测量 15分钟。

步骤：

  1. 第一支香：两端同时点燃，它会在 30分钟 内燃尽（因为燃烧速度加倍）。

  2. 第二支香：只点燃一端，它仍然需要 60分钟 燃尽。

  3. 当第一支香燃尽时（即 30分钟过去了），立即点燃第二支香的另一端。

    • 由于此时第二支香已经燃烧了 30分钟，还剩 30分钟 可燃时间。
    • 现在两端同时点燃，燃烧速度加倍，因此 剩余部分会在 15 分钟内燃尽。

结论：

第一支香 + 第二支香的双端燃烧，即可精准测得 15分钟！

有两个容器分别是5L与6L,如何精准得到3L的水？

我们可以利用 倒水、装满、倒空 的操作，通过 6L 和 5L 容器的相互转换，精准得到 3L 的水。

方法 1：使用 6L 容器倒入 5L 容器

  1. 6L 装满（6L 容器有 6L 水）。
  2. 把水倒入 5L 容器，5L 容器装满，6L 还剩 1L（6L → 1L，5L → 5L）。
  3. 倒掉 5L 容器的水（6L → 1L，5L → 0L）。
  4. 把 6L 容器的 1L 倒入 5L 容器（6L → 0L，5L → 1L）。
  5. 再次装满 6L 容器（6L → 6L，5L → 1L）。
  6. 将 6L 容器的水倒入 5L 容器，直到 5L 容器装满（6L 倒 4L 进去）。
    • 此时 6L 还剩 3L（✅ 成功得到 3L！）

方法 2：使用 5L 容器倒入 6L 容器

  1. 5L 容器装满（5L → 5L，6L → 0L）。
  2. 把 5L 容器的水倒入 6L 容器（5L → 0L，6L → 5L）。
  3. 再次装满 5L 容器（5L → 5L，6L → 5L）。
  4. 往 6L 容器倒水，只倒 1L（因为 6L 只能装 1L）。
    • 此时 6L 容器变成 6L（满了），5L 容器剩 4L。
  5. 倒掉 6L 容器的水（5L → 4L，6L → 0L）。
  6. 把 5L 容器中的 4L 倒入 6L 容器（5L → 0L，6L → 4L）。
  7. 再次装满 5L 容器（5L → 5L，6L → 4L）。
  8. 把 5L 容器的水倒入 6L 容器，只倒 2L，此时 6L 容器装满，5L 还剩 3L（✅ 成功得到 3L！）。

总结

  • 方法 1（6L 容器倒 5L 容器）：更直接，6L 只剩 3L 时停止。
  • 方法 2（5L 倒 6L）：依靠不断装满倒水的方式，最终剩 3L。

这两种方法都可以 精准获得 3L 水！💡